2000年5月24日，美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute) 在法国巴黎召开了一次数学会议。在会议上，与会者们列出了七个数学难题，并作出了一个颇具轰动性的决定：为每个难题设立100万美元的巨额奖金。距此次会议100年前的1900年，也是在巴黎，也是在一次数学会议上，一位名叫希尔伯特(David Hilbert)的德国数学大师也列出了一系列数学难题。那些难题一分钱的奖金都没有，但对后世的数学发展产生了深远影响。这两次远隔一个世纪遥相呼应的数学会议除了都在巴黎召开外，还有一个共同之处，那就是在所列出的难题之中，有一个——并且只有一个——是共同的。

那个难题就是“黎曼猜想”(Riemann hypothesis)。

黎曼猜想顾名思义，是由一位名叫黎曼(Bernhard Riemann)的数学家提出的，那位数学家于1826年出生在如今属于德国，当时属于汉诺威王国(Kingdom of Hanover)的一座名叫布列斯伦茨(Breselenz)的小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。 那篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。

黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，那就是素数的分布。素数是像2、5、19、137 那样除了1和自身以外不能被其它正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于构筑万物的原子在物理世界中的地位。

素数的定义简单得可以在中学、甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今未能彻底了解。黎曼那篇论文的一个重大成果，就是发现素数分布的奥秘完全蕴藏了在一个特殊的函数之中——尤其是，使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼 ζ 函数：ζ（s）=1^（-s）+2^（-s）+3^（-s）+......，那一系列特殊的点则被称为黎曼 ζ 函数的非平凡零点(下文中有时将简称其为零点)。

有意思的是，黎曼那篇论文的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多“证明从略”的地方。而要命的是，“证明从略”原本是该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些“证明从略”的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。

黎曼为什么要把那么多并非显而易见的证明从略？我们无法确知，也许是因为它们对于他来说确实是显而易见的，也许是因为不想花太多时间来撰写文章。但有一点基本可以确定，那就是他的“证明从略”绝不是类似于调皮学生蒙混考试的做法，而且很可能也并不是把错误证明当成正确的盲目乐观——后者在数学史上不乏先例，比如法国数学家费马(Pierre de Fermat)在写下费马猜想时所表示的“我发现了一个真正出色的证明，可惜页边太窄写不下来”就基本已被数学界认定是把错误证明当成正确的盲目乐观。因为人们后来从黎曼的手稿中发现他对许多论文中从略了的证明是做过扎实研究的，而且那些研究的水平之高，甚至在隔了几十年之后被整理出来时，有时也仍具有极大的领先性。

但黎曼的论文在为数不少的“证明从略”之外，却引人注目地包含了一个他明确承认自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。

那么，黎曼猜想究竟是一个什么猜想呢？简单地说，是一个关于我们前面提到的，对素数分布的细致规律有着决定性影响的黎曼 ζ 函数的非平凡零点的猜想。关于那些非平凡零点，容易证明的结果只有一个，那就是它们都分布在一个带状区域上，但黎曼认为它们的分布要比这个容易证明的结果齐整得多，他猜测它们全都位于该带状区域正中央的一条直线上，这就是所谓的黎曼猜想。而这条被猜测为包含黎曼 ζ 函数所有非平凡零点的直线则被称为临界线。

黎曼猜想自1859年“诞生”以来，已经过了一百五十多个春秋。在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。当然，如果仅从时间上比较的话，黎曼猜想的这个纪录跟费马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，以及哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上仍屹立不倒相比，还差得很远。 但黎曼猜想在数学上的重要性却要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。

有人统计过，在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。这意味着：如果黎曼猜想及其推广形式被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分恐将成为陪葬。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题的命运息息相关，是极为罕有的。

不过，数学家们攀登黎曼猜想这座巍峨山峰的努力虽迄今未能取得完全成功，在这过程中却也取得了一些阶段性成果，好比是扎下了几座营寨。

这其中第一个阶段性成果出现在黎曼猜想问世37年后的 1896年。我们在前面提到过，关于黎曼 ζ 函数的非平凡零点，容易证明的结果只有一个，那就是它们都分布在一个带状区域上。那个阶段性成果是什么？就是将那个带状区域的边界剔除掉了——也就是说，黎曼 ζ 函数的非平凡零点只分布在那个带状区域的内部， 而不包括边界。这个成果是由法国数学家哈达玛(Jacques Hadamard)与比利时数学家普森(Charles de la Vallée-Poussin)彼此独立地取得的。

粗看起来，这似乎是很微不足道的成果，一个带状区域的边界跟它的内部相比，从面积上讲比例实际上是零。但是别小看了这个成果，它对于研究黎曼猜想来说只是一小步， 对于研究另一个数学猜想来说却是巨大的飞跃，因为它直接导致了后者的证明。那个数学猜想如今已被称为素数定理(prime number theorem)，它所描述的是素数的大范围分布规律。素数定理自被提出以来悬而未决已超过一百年，在当时乃是一个比黎曼猜想更令数学界期待的东西。

在上述成果之后又隔了18年，1914年，丹麦数学家玻尔(Harald Bohr)与德国数学家兰道(Edmund Landau)取得了另一个阶段性成果，那就是证明了黎曼 ζ 函数的非平凡零点倾向于“紧密团结”在临界线的周围。这个结果用数学语言来说，就是包含临界线的无论多么窄的带状区域都包含了黎曼 ζ 函数的几乎所有的非平凡零点。不过“紧密团结”归“紧密团结”，这一结果却不足以证明任何一个零点恰好就在临界线上，因此它距离黎曼猜想的要求仍然相差很远。

ζ函数的绝对值

但就在那同一年，另一个阶段性成果出现了：英国数学家哈代(GodfreyHardy)终于将“红旗”插上了临界线——他证明了黎曼 ζ 函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。

粗看起来，这似乎是一个非同小可的结果，因为黎曼ζ函数的非平凡零点总共就是无穷多个，而哈代证明了有无穷多个零点位于临界线上，从字面上看，两者已经一模一样了。可惜的是，“无穷”乃是数学中一个很微妙的概念，同样是无穷，彼此却未必是一回事，不仅未必是一回事，简直可以要差多远就差多远，甚至差无穷远！因此，为了知道哈代的结果离黎曼猜想的要求还有多远，我们需要更具体的结果。

那样的具体结果出现在7年后的1921年。那一年，哈代与英国数学家李特伍德(John Littlewood)合作，对自己7年前那个结果中的“无穷”做出了具体估计。那么，按照他们的具体估计，那已被证明为位于临界线上的“无穷多个非平凡零点”跟全部非平凡零点相比，究竟占多大的百分比呢？答案可能沮丧得出乎读者们的意料：百分之零！

数学家们将这个百分比推进到一个大于零的数字是在21年后的1942年。那一年，挪威数学家赛尔伯格(Atle Selberg)终于证明了这个百分比大于零。赛尔伯格做出这项成果时正值第二次世界大战的硝烟在欧洲各地弥漫，他所在的挪威奥斯陆大学几乎成了一座孤岛，连数学期刊都无法送达。

但赛尔伯格并不在乎，他表示 “这就像处在一座监狱里，你与世隔绝了，但你显然有机会把注意力集中在自己的想法上，而不会因其他人的所作所为而分心，从这个意义上讲我觉得那种情形对于我的研究来说有许多有利的方面”。赛尔伯格很好地利用了那“许多有利的方面”，孤独地进行着“一个人的战斗”，并最终取得了成果，他的成果是如此显著，以至于玻尔在战后曾戏称说战时整个欧洲的数学新闻可以归结为一个词，那就是：赛尔伯格。

赛尔伯格