但到了1932年，终于有一位数学家从黎曼的手稿中获得了重大发现——发现黎曼不仅亲自计算过若干个零点的数值，而且还有自己独特的、直到“出土”之日仍遥遥领先于当时数学界的计算方法。这一发现为黎曼ζ函数非平凡零点的计算带来了脱胎换骨般的变化，让停滞在第138个零点上的计算重新启动。

当然，这一发现也进一步提高了黎曼那原本就已极为崇高的声望，在很大程度上驱散了一些数学家对黎曼论文中那些“证明从略”部分的怀疑。因为它表明黎曼那篇高度简练的论文只是冰山的尖顶，在那下面有着大量扎实的研究。那么，发现这一切的人是谁？是黎曼的一位同胞：德国数学家西格尔(Carl Ludwig Siegel)。为了从天书般的黎曼手稿中“出土”公式，西格尔付出了艰辛的努力。为了表彰他的努力，人们将这一计算黎曼 ζ 函数非平凡零点的新方法称为了黎曼-西格尔公式(Riemann–Siegel formula)。

黎曼-西格尔公式的“出土”大大推进了零点计算。在短短几年间，数学家们就把零点计算推进了一个数量级，达到了1000个以上的零点。虽然随后爆发的第二次世界大战中断了零点计算，但战后计算机技术的发展，又使得零点计算呈现出了井喷势头：从1956年到1969年的十几年间，被计算出的零点数目又推进了好几个数量级，从25,000个推进到了3,500,000【350万】个。当然，所有这些零点也都无一例外地位于黎曼猜想所预言的临界线上。说到这里顺便提醒读者一下，我们这里及下文所说的零点计算除早期那些小规模的计算外，大都只是验证零点是否在临界线上，而并不计算它们的具体数值。

验证了350万个零点全部位于临界线上，无疑大大增强了数学家们对黎曼猜想的信心。不过，不相信的也还是大有人在。比如德国普朗克数学研究所(MaxPlanck Institute for Mathematics)的一位名叫查基尔(Don Zagier)的数学家对这种验证就不以为然。

在他看来，区区350万个零点根本不说明问题。他的这种不以为然很快遇到了对手：一位对黎曼猜想深信不疑的铁杆“粉丝”。这位“粉丝”名叫蓬皮埃利(Enrico Bombieri)，是著名的意大利数学家。两人一个疑心重重、一个深信不疑，谁也不服谁。怎么办？查基尔提议打赌。

说起来，其实查基尔对黎曼猜想倒也并非全然不信，而且也并非一味轻视对零点的数值计算，他只是觉得350万个零点实在太少了，不足以让他信服。那么，要计算多少个零点才能让他信服呢？他开出的数目是3亿。于是两人就以这个数目为限订下了赌约：如果黎曼猜想在前3亿个零点中出现反例，就算查基尔获胜；反之，如果黎曼猜想被证明，或者虽然没被证明，但在前3亿个零点中没有出现反例，则算蓬皮埃利获胜。赌注为两瓶葡萄酒。

初看起来，相对于已经计算出的350万个零点来说，查基尔的3亿个零点简直就是“狮子大开口”，查基尔自己也估计这个赌局也许要花上30 年的时间才能分出胜负。可是他显然跟那个时代的多数其他人一样，大大低估了计算机技术的发展速度。事实上，离赌局的设立还不到10年，1979年，零点计算就被推进到了8,100万个。不久之后，又被推进到了两亿个，距离赌局的终结只剩下了一步之遥，而形势则对查基尔极为不利——因为那两亿个零点全都位于临界线上。

不过，计算出那两亿个零点的数学家对查基尔的赌局一无所知，在计算完两亿个零点后就停了下来，这一点让查基尔大大地松了一口气。可惜，他这口气没能松太久，因为他的一位朋友恰好访问了那位数学家，不仅将赌局之事告诉了后者，还进行了一番鼓动。后者一听零点计算还有这么重大的意义，就立刻展开了新的计算，一鼓作气推进到了3亿个零点——当然，黎曼猜想岿然不动。

查基尔输了，他兑现诺言买来了两瓶葡萄酒。蓬皮埃利当场打开其中一瓶与他共饮。他们喝掉的这瓶葡萄酒用查基尔的话说，是世界上被喝掉的最昂贵的葡萄酒，因为正是为了以它为赌注的那个赌局，数学家们特意多计算了一亿个零点，为此花费了约70万美元的计算经费。也就是说，被他们喝掉的这瓶葡萄酒是用35万美元的经费换来的！喝完了这瓶葡萄酒，查基尔从此也对黎曼猜想深信不疑了。

在查基尔和蓬皮埃利的赌局之后，像查基尔那样看重零点计算、以此决定自己对黎曼猜想信任度的数学家越来越少了；像验证3亿个零点那样愿意把巨额经费投入到零点计算中的人也越来越少了。不过对零点的计算并没有就此终止。

2001年，一位名叫魏德涅夫斯基(Sebastian Wedeniwski)的德国研究者创立了一种崭新的计算模式：分布式计算，即利用彼此联网的许多台计算机来共同计算零点。这个分布式计算系统建成之后，不久就被推向了互联网，吸引了世界各地大量数学和计算机爱好者的参与，联网计算机的数目很快就稳定在了10,000台以上，每天计算出的零点数目在10亿以上。至于经费，则基本可以忽略不计，因为参与者都是自愿而无偿地贡献出自己的计算资源的。

到了2004年末时，魏德涅夫斯基的分布式计算系统所计算出的零点总数逼近了一个激动人心的数目：一万亿。眼看着一次辉煌庆典已指日可待，不料却从法国传来了一个令人吃惊的消息：两位法国人完成了对10万亿个零点的计算，比他们翘首期待的一万亿高出了整整一个数量级！更令人吃惊的是，这两位法国人完成这一工作所用的计算资源居然只是几台普通的计算机，所花费的时间也只有一年多。

此时此刻，这样的一则消息对于魏德涅夫斯基来说无疑是当头一棒，结果庆典变成了谢幕，魏德涅夫斯基在不久之后关闭了整个系统。此情此景，犹如九十多年前英国探险家斯科特(Robert Falcon Scott)挺进南极的经历：当他们历经艰辛、即将抵达南极点时，却发现挪威探险家阿蒙森(Roald Amundsen)已经捷足先登（斯科特及同伴后来在黯然返回的途中全部遇难）。

两位法国人凭借几台普通计算机一年多的工作，居然超过了全世界上万台联网计算机几年的工作，而且超过了整整一个数量级，这是什么缘故？因为他们采用了一种比黎曼-西格尔公式更高明的计算方法。这一计算方法是出生于波兰的数学家欧德里兹科(Andrew Odlyzko)与合作者肖恩哈格(Arnold Schönhage)于1988年提出来的。

欧德里兹科为什么会研究零点计算的算法？这也牵扯到一段故事，而且是很有意思的故事。当然，表面上的原因是跟所有其它从事零点计算的人一样的，那就是因为他对零点计算很感兴趣。不过，他那兴趣的由来跟其他人有所不同，其他人的兴趣大都来自于对黎曼猜想本身的兴趣，他却是因为听了美国数学家蒙哥马利 (Hugh Montgomery) 的一个并非直接针对黎曼猜想的研究报告，才从事零点计算，并研究零点计算的算法的。

蒙哥马利那个报告所介绍的是一项很独特的研究，即研究黎曼 ζ 函数非平凡零点在临界线上的分布规律。他的研究表明，在适当的假设——其中包括假设黎曼猜想成立——下，可以证明黎曼 ζ 函数的非平凡零点在临界线上的分布呈现出一种相互排斥的趋势（即倾向于彼此远离），这个趋势可以用一个不太复杂的数学公式来描述。

蒙哥马利自20世纪70年代初就开始研究黎曼 ζ 函数非平凡零点在临界线上的分布规律了。他发现了规律，并且因为那规律不太复杂而直觉地感到在其背后应该蕴含着某种玄机。为了揭开那玄机，他特意访问了普林斯顿高等研究院。在那里，他“觐见”了黎曼猜想研究的元老赛尔伯格。可惜就连赛尔伯格也看不透那规律背后的玄机。

不过，在高等研究院那样一个名家云集的地方，随时都有可能出现意想不到的学术交流。蒙哥马利在最有希望得到信息的赛尔伯格那里不曾得到有价值的信息，却在高等研究院的茶室里偶遇了一位物理学家。那位物理学家名叫戴森(Freeman Dyson)，是一位研究领域很宽广的人物，当他在和蒙哥马利的攀谈中获知后者所发现的这个零点在临界线上的分布规律时，登时就吃了一惊。因为他想起了自己十多年前的一系列研究。那些研究跟黎曼 ζ 函数的非平凡零点没有半点关系，但在那些

研究中，他却得到过同样的分布规律！

戴森十多年前所研究的是什么？是从一些极为复杂的物理体系——比如复杂原子核——中抽象出来的问题。处理那种问题所用的是一类特殊的统计物理手段，而其中一个典型的课题则是研究复杂体系中能量的分布——物理学家们称之为能级分布。戴森曾经得到过那种分布的具体形式，它除了可以描述能级外，还出现在了许多其它复杂的物理现象中。而现在，从蒙哥马利所从事的纯数学研究中，他居然再次见到了同样的分布，这实在是大大出乎他意料的事情。

几年之后，蒙哥马利再次来到普林斯顿，并作了一次研究报告——即欧德里兹科所听到的报告。在报告中，他除了介绍自己的研究外，还提到了他和戴森所发现的这种数学与物理之间的奇怪联系。

这一切引起了欧德里兹科的浓厚兴趣，使他决定通过大规模零点计算来验证蒙哥马利所发现的零点在临界线上的分布规律。从20世纪80年代末到90年代初，欧德里兹科利用他和合作者肖恩哈格所提出的新算法，完成了几批大规模的零点计算，结果非常漂亮地证实了蒙哥马利所提出的零点在临界线上的分布规律。考虑到蒙哥马利的结果是在假设黎曼猜想成立的基础上得到的，因此这种证实也可以在一定程度上被视为是对黎曼猜想的间接支持。

不过，所有这些都没有解决一个最根本的问题，那就是像黎曼 ζ 函数非平凡零点在临界线上的分布这样最纯粹的数学性质，为什么会跟像复杂原子核的能级分布那样最现实的物理现象扯上关系？这种神奇的关联本身又预示着什么呢？这两个问题直到今天也没有完全的答案。